Что вернут сравнения для new String("a") и new String("a") через == и через equals()?

Для объектов оператор == проверяет, указывают ли две ссылки на один и тот же объект. new String("a") каждый раз создаёт новый объект, поэтому две такие строки — разные объекты, и == возвращает false.

String.equals() переопределён и сравнивает строки посимвольно — для одинакового текста результат true.

Путаницу создаёт пул строк (string pool): строковые литералы хранятся в нём в одном экземпляре, поэтому "a" == "a" даёт true. Метод intern() позволяет явно получить строку из пула. Но рассчитывать на это в коде нельзя: строка, пришедшая из сети, файла или конкатенации во время выполнения, будет отдельным объектом. Правило простое — содержимое строк сравнивают через equals(), а для нечувствительного к регистру сравнения — equalsIgnoreCase().

String a = new String("a");
String b = new String("a");
System.out.println(a == b);          // false — разные объекты
System.out.println(a.equals(b));     // true — одинаковое содержимое
System.out.println("a" == "a");      // true — один литерал из пула
System.out.println(a.intern() == "a"); // true