Как в компьютере хранятся отрицательные целые числа?

Целое число в n битах — просто n нулей и единиц. Вопрос в том, как договориться о знаке. Исторически было три способа:

• прямой код — старший бит знак, остальные модуль. Два нуля (+0 и −0) и сложение требует отдельной логики для знаков;
• обратный код — отрицательное число получается инверсией битов. Тоже два нуля;
• дополнительный код — старшему биту приписывается вес −2ⁿ⁻¹, остальные как обычно. Ноль один, а сложение и вычитание работают теми же схемами, что и для беззнаковых чисел: результат просто берётся по модулю 2ⁿ.

Поэтому все современные процессоры используют дополнительный код, а Java, C# и Go закрепляют его в спецификации (в C++ — с C++20).

Как получить −x: инвертировать все биты и прибавить единицу. Для 8 бит: 5 = 0000 0101, инверсия 1111 1010, плюс 1 — 1111 1011 = −5. Проверка: −128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = −5.

Асимметрия диапазона. Битовых комбинаций 2ⁿ, одна занята нулём, поэтому отрицательных на одно больше: в byte от −128 до 127. Отсюда ловушка: Math.abs(Integer.MIN_VALUE) возвращает отрицательное число, потому что +2³¹ не помещается в int.

Расширение знака. При переводе в больший тип старший бит копируется влево: −5 в 16 битах — 1111 1111 1111 1011. Поэтому в Java (int) b для byte −1 даёт −1, а не 255; беззнаковое значение получают маской b & 0xFF.

Сдвиги тоже различаются: >> в Java сохраняет знак (арифметический сдвиг), >>> заполняет нулями (логический).

def to_bits(x, n=8):
    return format(x & (1 << n) - 1, f"0{n}b")   # маска: младшие n бит

to_bits(5)    # '00000101'
to_bits(-5)   # '11111011'  = инверсия 5 и +1
to_bits(-128) # '10000000'