Что происходит при переполнении целого числа?

Целое фиксированной ширины хранит n бит. Если результат операции требует больше, лишние старшие биты отбрасываются, и число «заворачивается» — это арифметика по модулю 2ⁿ. В дополнительном коде это значит, что Integer.MAX_VALUE + 1 даёт Integer.MIN_VALUE: из 0111…1 получается 1000…0.

Как ведут себя языки:

• Java, C#, Go, Kotlin — заворачивание, без исключения. В Java есть Math.addExact, multiplyExact, toIntExact — они бросают ArithmeticException; в C# — блок checked;
• C и C++ — для знаковых переполнение — неопределённое поведение: компилятор вправе считать, что его не бывает, и, например, выкинуть проверку if (x + 1 < x). Беззнаковые заворачиваются по определению;
• Rust — в отладочной сборке паника, в релизной заворачивание; есть checked_add, wrapping_add, saturating_add;
• Python — int произвольной длины, переполнения нет. Но в numpy и pandas типы фиксированные (int64), там заворачивание есть.

Где ловит на практике:

• середина в бинарном поиске: (low + high) / 2 переполняется на больших массивах — эта ошибка годами жила в стандартной библиотеке Java. Пишут low + (high - low) / 2 или (low + high) >>> 1;
• сравнение через вычитание: return a - b в компараторе ломается, если a большое положительное, а b большое отрицательное. Правильно — Integer.compare(a, b);
• время в миллисекундах в int: 2³¹ мс — всего 24,8 суток;
• умножение размеров: width * height * 4 для большой картинки;
• счётчики и идентификаторы: автоинкремент int в базе кончается на 2,1 млрд строк.

int x = Integer.MAX_VALUE;
System.out.println(x + 1);              // -2147483648
System.out.println(Math.abs(Integer.MIN_VALUE)); // -2147483648
Math.addExact(x, 1);                    // ArithmeticException

int mid = (low + high) >>> 1;           // безопасная середина