Метод создаёт Mono с вызовом внешнего сервиса, но не возвращает его и ни на что не подписывается. Что произойдёт?

Это ошибка номер один у тех, кто переходит на реактивный стиль: цепочка выглядит как выполненный код, но фактически является лишь рецептом. В контроллере WebFlux подписку делает сам фреймворк, когда вы возвращаете Mono, — поэтому забытый return превращает вызов в тихий no-op без единой ошибки в логе. Внутри бизнес-логики цепочки нужно соединять операторами (flatMap, then, zip), а не вызывать методы ради побочного эффекта. Вызывать subscribe() вручную в контроллере не следует: так теряются backpressure, отмена при разрыве соединения и передача контекста. Холодность означает ещё и то, что каждая новая подписка запускает работу заново — при необходимости общего результата применяют share или cache.